滨州成人高考过高等数学复习资料（一）

　　中间变量是多元函数的情形

　　1.复合函数：、及

　　链式法则如图示：

　　

　　

　　

　　

　　典型例题设，而，，求全导数.

　　解:

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　隐函数的导数和偏导数

　　（）

　　典型例题求由方程所确定的隐函数的导数

　　解此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之.

　　令则

　　

　　

　　(，.)——重点

　　典型例题设是由方程所确定的隐函数，求。

　　解：设，

　　，，

　　，

　　＝＋

　　二阶偏导数（就是一阶偏导数再求偏导数）

　　典型例题设，求、、、及.

　　解：

　　

　　

　　往年真题设函数，则等于(B)

　　A．

　　B．

　　C．

　　D．

　　解是求函数的二阶偏导数，要求二阶偏导，需先求一阶偏导。

　　一阶偏导数对：

　　二阶偏导数对：

　　考点六、二元函数的极值

　　1、二元函数的无约束极值

　　求的极值的一般步骤为：

　　第一步解方程组

　　f_x(x,y)=0,f_y(x,y)=0,

　　求得一切实数解,即可得一切驻点.

　　第二步对于每一个驻点(x₀,y₀),求出二阶偏导数的值

　　A、B和C.

　　第三步定出AC-B²的符号,按定理2的结论判定f(x₀,y₀)是否是极值、是极大值还是极小值.

　　典型例题求函数的极值.

　　解先解方程组解方程组

　　解得驻点为

　　再求出二阶偏导数

　　ⅰ在点(1,0)处,故函数在该点处有极小值

　　ⅱ在点(1,2)处,处，故函数在这两点处没有极值;

　　ⅲ在点处，又故函数在该点处有极大值

　　2、条件极值拉格朗日乘数法

　　要找函数z=f(x,y)在条件j(x,y)=0下的可能极值点，可以先构成辅助函数

　　F(x,y)=f(x,y)+lj(x,y),

　　其中l为某一常数。然后解方程组：

　　.

　　由这方程组解出x,y及l,则其中(x,y)就是所要求的可能的极值点。

　　典型例题求表面积为a²而体积为最大的长方体的体积.

　　解设长方体的三棱的长为x,y,z,则问题就是在条件

　　2(xy+yz+xz)=a²

　　下求函数V=xyz的最大值.

　　构成辅助函数

　　F(x,y,z)=xyz+l(2xy+2yz+2xz-a²),

　　解方程组

　　,

　　得,

　　这是唯一可能的极值点.因为由问题本身可知最大值一定存在,

　　所以最大值就在这个可能的值点处取得.此时.